条件概率条件概率范文（精选5篇）

2023-11-13 09:25:27

下面是书包范文为您带来的条件概率范文（精选5篇），希望能够对朋友们的写作有一些启发。

条件概率范文篇一

【关键词】条件概率；概率；随机试验；事件；抽签

一、课本上思考问题的另一种解法

思考问题（见数学选修2―3第二章2.2节）：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？

课本解法：用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件，B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，Y表示抽到中奖奖券，N表示没抽到中奖奖券，则B={NNY}，A={N NY，N Y N}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是n（B）[]n（A）=1[]2，由此引出条件概率定义：P（B|A）=n（AB）[]n（A）

另一解法：用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件，B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，所有的基本事件为两张不中奖奖券和1张能中奖奖券，一名同学抽奖后，剩余的基本事件全体为Ω={1张中奖奖券，1张不能中奖奖券}，含B的基本事件是{1张中奖奖券}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是1[]2，由此启发我们给出条件概率的另一定义：P（B|A）=A发生后剩余的含B的基本事件个数/A发生后剩余的基本事件总数。

本文称之为条件概率的第三定义。本定义较之课本给出的条件概率定义，学生比较容易理解和掌握。

二、条件概率第三定义应用举例

例1 （见数学选修2―3第二章2.2节P60页）在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。

解设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，第1次抽到理科题后剩余的题数是4道，其中2道理科题，

由条件概率第三定义可知，

P（B|A）=2[]4，即P（B|A）=1[]2.

例2 （见数学选修2―3第二章2.2节P61页）从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，求第2次也抽到A的概率。

解设第1次抽到A为事件B，第2次也抽到A为事件C，第1次抽到A后剩余的基本事件总数是51，第1次抽到A后剩余的A扑克牌有3张，

所以，依据条件概率第三定义得，P（C|B）=3[]51

例3 （见数学选修2―3第二章2.2节P61页）100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1件抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率。

解设第1件抽出的是次品为事件A，第2次抽出正品为事件B，第1件抽出次品后剩余的基本事件总数是99，第1件抽出次品后剩余的含正品的基本事件个数为95，

所以，依据条件概率第三定义得，P（B|A）=95[]99.

例4 （见数学选修2―3第二章2.2节P63页）一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？

（2）先摸出1个白球放回，再摸出1个白球的概率是多少？

解记先摸出1个白球为事件A，再摸出1个白球为事件B，

（1）先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为3，先摸出1个白球后剩余的白球个数是1，故依据条件概率第三定义得，P（B|A）=1[]3.

（2）先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为4，先摸出1个白球后剩余的白球个数是2，

故，依据条件概率第三定义得，P（B|A）=2/4，即P（B|A）=1[]2.

运用条件概率第三定义解决以上例题，较之课本给出的定义，更简捷、更能抓住题目的本质。

三、条件概率的两种情形

条件概率P（B|A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。在事件A发生的条件下，事件B发生包括两种情形。第一种情形：事件A发生后，事件B才发生；第二种情形：事件A发生的同时，事件B也可能发生。这两种情形的共同点是事件A、B都发生。本文给出的条件概率第三定义适用范围是第一种情形。如果是第二种情形，必须运用课本的条件概率定义。

例如，一个箱子中装有4个白球和3个黑球，一次摸出2个球，在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率？

解记摸出的2个球颜色相同为事件A，摸出的2个球是白球为事件B，由于事件A发生的同时，事件B也可能发生，故用课本给出的条件概率定义解决，

n（AB）=n（B）=C24，n（A）=C24+C23，

所以，P（B|A）=C24/（C24+C23）.

本文对条件概率的两种分类，以及据此给出的条件概率第三定义，可以较好地帮助学生认清条件概率的本质

【参考文献】

[1]杨义群。初等概率教学中定义条件概率的两个问题探讨[J].教学与研究（中学数学），1984，（4）：3.

[2]谢国瑞。概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2002.

条件概率范文篇二

一、条件概率的意义

1.设A，B为两个事件，且P（A）>0，则称P（B|A）=P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2.几何直观意义

3.条件概率的基本性质

（1）任何事件的条件概率取值在0与1之间。

（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0.

4.乘法公式

用乘法公式计算P（AB）时，对上面两个公式用哪一个，我们可根据哪一个事件先发生，就选择以哪个事件为条件的公式。

5.计算条件概率的两个方法

二、条件概率运用中需要注意的问题

1.条件概率与概率的区别

在日常教学中，条件概率与概率有何区别，大小上有何关系是不少学生迷惑的问题。其实，P（A）是在一定的试验条件下A发生的可能性大小，P（A|B）是在已知事件B发生的情况下，也就是说在改变了的试验条件下A发生的可能性大小。

3.条件概率与两个事件相互独立的区别

在事件A与B相互独立的定义中，A与B地位是对称的，在条件概率P（B|A）的定义中，事件A和B的地位不是对称的，这里要求P（A）>0.如在有放回的抽奖卷的试验中，两次不同的抽取结果相互独立，但是在不放回抽奖卷的试验中，第一次抽取的结果和第二次抽取结果就不是相互独立的，原因是在第二次抽奖卷时，只能抽到第一次抽取后剩下的奖卷。同时，也不能用P（B|A）=P（B）作为事件A与事件B相互独立的定义，原因是这个式子的适用范围是P（A）>0.否则P（B|A）没有意义。而P（AB）=P（A）P（B）中A，B可以是任意事件。

浅析条件概率篇三

关键词：条件概率；概率；随机试验；事件；抽签

在多年的概率论教学过程中，笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念，特别是在求解有关问题时，往往无处着手，出现思维障碍，从而影响了学生的学习积极性。究其原因，基本上是对条件概率概念没有很好地理解；在教学过程中，教师也没有引起重视，一笔带过，而把重点放在全概率公式上，学生处于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。

首先，有必要弄清楚p（a/b），p（ab），p（a）这三者之间的区别与联系。

一是条件概率p（a/b）与概率p（a）的区别。

每一个随机试验都是在一定条件下进行的。设a是随机试验的一个事件，则p（a）是在一定条件下事件a发生的可能性的大小。而条件概率p（a/b）是指在原条件下又添加“事件b发生”这个条件时，事件a发生的可能性大小，即p（a/b）仍是概率，p（a）与p（a/b）的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概率，在数值上一般也不相等。（注：“事件b发生”特指读者已经知道事件b发生，而实际上事件b往往在事件a发生之前发生，但也可以在事件a发生之后发生，如例1中求p（a1/a2a3），只是读者还不知道事件a已发生，用p（a/b）来估计事件a发生可能性的大小。

例1：5个签中的2个是“有”，3个是“无”，无放回地顺次抽取，每人抽一个，用ai表示第i个人抽到“有”这一事件，则p（a2）===，p（a2/a1）=。

二是条件概率p（a/b）与概率p（a）的数量关系。

条件概率p（a/b）是在原随机试验条件下又添加“事件b发生”这个条件时事件a发生的可能性大小，是否一定有p（a/b）≥p（a）呢？

1.当a、b互不相容时，a发生时b不发生，则p（a/b）=0≤p（a）；

2.当a?奂b时，p（ab）=p（a），p（a/b）==≥p（a）；

3.当a、b既不是互不相容，又不是包含关系时，因p（a/b）=，大于、等于、小于p（a）三种可能都有，如p（a）=0.5,p（b）=0.4,当p（ab）=0.30时，p（a/b）=0.75>p（a）；当p（ab）=0.20时，p（a/b）=0.5=p（a）;当p（ab）=0.10时，p（a/b）=0.25

三是条件概率p（a/b）与积事件的概率p（ab）的区别。

这两个概念从形式上看是容易区分的，但对于初学者来说很容易混淆，有必要强调一下。条件概率p（a/b）是指事件b发生这个条件下事件a发生的概率，而p（ab）是指a、b同时发生的概率。因而“事件b发生”在p（a/b）中是作为条件，而p（ab）中是作为结果，所以两者不相同。

例2：某班有男学生40人，女学生20人，通过英语六级者有15人，其中有女学生10人。在该班级中任意抽取一人，分别计算：

1.求所取的学生为女学生并且已通过英语六级的概率；

2.已知所取的学生为女学生，求其通过英语六级的概率。

解：设a=｛所取的学生已通过英语六级｝，b=｛女学生｝，则（1）为求事件a、b的积事件的概率p（ab）==；（2）为求在事件b发生条件下事件a发生的条件概率p（a/b）==。

其次，要深刻理解当p（b）>0时，条件概率公式p（a/b）=的意义。

一是要从理论上推出该公式非常困难，但从事件a、b的文氏图可直观地解释一下该公式，把p（a）看成为a的面积与必然事件ω的面积的比值，那么，p（a/b）为在b发生条件下a发生的概率，可理解为ab的面积与b的面积的比值，分别除以ω面积，即得条件概率公式p（a/b）=，可以让学生从心理上接受它并加深印象，而公式本身已证明是成立的，只要加以说明就行，这样可起到降低难度的作用。公式给出了计算条件概率的一种方法。

例3：某种品牌的彩色电视机使用寿命10年的概率为0.9,而使用寿命15年的概率为0.5,试求某台电视机已经使用10年的情况下，能再使用5年的概率。

解：设b=｛电视机使用寿命10年｝，a=｛电视机使用寿命15年｝，则p（a）=0.5，p（b）=0.9因为a发生必然导致b发生，即b?劢a，p（ab）=p（a）=0.5，p（a/b）===。

二是该公式的作用不仅仅用来计算条件概率，而且条件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用来计算积事件ab的概率，p（ab）=p（b）p（a/b）这就是我们所说的乘法公式。

例4：在例1中，计算p（a1a2）=p（a1）p（a2/a1）=×=，p（a2）=p（a1a2+a1a2）=p（a1）p（a2/a1）+p（a1）p（a2/a1）=×+×=，同理可得p（a3）=p（a4）=p（a5）=，这道题目的解答也说明了这样一个问题：无放回抽签不分先后，各个人抽到好签的可能性是一样的，不必为轮到后面而不高兴，关键的问题是操作规则要公正。也许会问前面的人好签抽走了，最后面的人还会有吗？那么要是前面的人没有全部抽走好签，最后面的人不是肯定能抽到好签吗？以上两种情况都属于条件概率。

如果没有这个乘法公式，计算p（a1a2）难度就大得多了，得考虑两个“好签”给5个人中的两个人抓到共有几种方法？是用排列数计算呢，还是用组合数计算呢？每种方法是否等可能的？要仔细分析一下，最后得：p（a1a2）===。

再次，条件概率公式为全概率公式的计算奠定了基础，从而解决了事件概率的计算问题。

一般教材都给出条件概率p（a/b）中p（b）必须大于0，那么当p（b）=0时，p（a/b）是否有意义呢？

显然条件概率公式是不能用了，当a、b所在的事件空间 ω中的基本事件个数为有限个时，由p（b）=0，可得b所包含的有利事件个数为0个，由p（a/b）的含义得a的有利事件个数也为0个，所以，这时规定p（a/b）=0较妥当。而当ω为无限集时，情况比较复杂。现举例如下：

当a、b所代表的事件互不影响时（具体情况时容易判断的），规定p（a/b）=p（a）；当b?奂a时，b发生可推出a发生，这时p（a/b）=1；当a、b是互斥事件时，b发生时，推出a不发生，得p（a/b）=0；当b为不可能事件时，讨论p（a/b）实际上是无意义的，在不可能事件b发生条件下a发生的概率，这句话本身就是相悖的，但为统一起来，可定义p（a/b）=0；当a、b是互不包含事件时，情况比较怎复杂，视具体情况而定。

例5：质点m随机地均等抛掷到？-1，+1?区间上，记a=｛质点落在？0，1?区间上｝，b=｛质点恰好落在点处｝，b1=｛质点落在-1，0，，1这四点处｝，b2=｛质点落在？0，1?区间上的有理数点处｝，则p（a/b）=1，p（b/b1）=，p（b1/b2）=0。

参考文献：

[1]杨义群。初等概率教学中定义条件概率的二个问题探讨[j].教学与研究（中学数学）,1984,（4）:3.

[2]谢国瑞。概率论与数理统计[m].北京：高等教育出版社， 2002.

[3]王潘玲。应用高等数学[m].杭州：浙江科学技术出版社，2004.

[4]曹之江。现代数学优教原理探索[j].数学教育学报，2004,（2）:1-2.

条件概率篇四

笔者在讲述人教版高中数学选修2-3条件概率内容时，对P53例2讲解时发现，学生对条件概率与积事件概率很难区分。此题为：

一张储蓄卡的密码有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时忘记了密码的最后一位数字，求：任意按最后一位数字，第一次按错，第二次按对的概率。

有不少学生的解法如下：

记={第i次按对密码}（i=1，2，3），则P（|）==。分析造成错误的原因主要是对条件概率和积事件概率的区别没有弄清楚。

例题中的条件是连续按两次，相当于从0～9的10个数字中先后取出两个数字，这样样本空间Ω的基本事件总数为10×10=100个，就按对和按错而言，有如下三种情况：（错，错），（错，对），（对，错）。其中第一类有9×8=72种结果，第二类有9×1=9种结果，第三类有1×9=9种结果。第二次才按对是上面三类情况中的第二类，也就是说第一次按错并不是试验前已经发生的，而是与第二次按对是同时发生的。因此，它不是条件概率，而是积事件概率。而“第一次按错的条件下，第二次按对”的概率，这里是指在试验开始前就已经知道“第一次按错”的这个条件。这样样本空间就由{（错，错），（错，对），（对，错）}三类缩小为{（错，错），（错，对）}两类，因此这里所求的概率是在第一次按错后剩下的数字中再按对的概率，即这里所求的概率是附加了条件的事件的概率。根据条件概率的定义，求“在第一次按错的条件下，第二次按对”的概率才为条件概率。

因此，“第二次按对”与“第一次按错的条件下，第二次按对”的概率是有本质区别的，前者属于积事件概率，后者属于条件概率。所以这道题的正确解法为P（）==。

为在实际问题中快速准确地判定条件概率与积事件概率，一定要让学生分清随机试验中的固有条件和附加条件。积事件概率是随机事件在固有条件下同时发生的概率，条件概率是在一定附加条件之下发生的事件的概率。而从广义上讲，任何概率都是条件概率，因为任何事件都产生于一定条件下的试验或观察，即任何试验都有其固有条件，附加条件是指除试验条件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某某事件发生了”。因此，此题中“第一次按错，第二次按对”显然是“随机按密码的最后一位数字”这个试验的固有条件，而不是将“第一次按错”作为“第二次按对”的附加条件。

再例如：10个零件中有8个正品，2个次品，从中任取一个，如果每次取出的是次品，不再放回，再任取一个零件直到取得正品为止。求取得正品前，取出次品1次的概率。

条件概率范文篇五

Abstract： In order to predict the geological conditions ahead of tunnel face， a hybrid approach combining Markov process with neural networks is presented， it's cheaper than using Markov process alone and can let dynamic prediction the neural networks can't achieve come true.

关键词：隧道风险；地质条件；概率化预测；马尔科夫与神经网络

Key words： tunnel risks；geological conditions；probabilistic prediction；Markov and neural networks approach

中图分类号：U45 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）11-0100-02

0 引言

地质条件的不确定性是隧道施工不确定性最主要的来源，恰当的估计，既可防止灾难性的后果，也可以通过减少在施工中的保守措施以及选择合适的开挖和支护方法达到节约资源的目的。探测地质条件的方法分为硬方法和软方法，硬方法包括从上往下打钻孔和地质超前预报，软方法更经济，它包括时间序列、神经网络、马尔科夫随机过程等方法[1]。时间序列分析需要大量信息进行趋势的分析和模式的识别。神经网络能很好地处理非线性联系，但它无法实现动态预测。马尔科夫方法将地质参数看作是离散状态、连续空间的随机过程，根据特定位置地质条件及转移概率矩阵预测开挖线上各位置的地质条件，它在实现动态预测时，需要通过试验的方法来获得当前位置的地质条件，往往耗财、费时，实际工程中也不可能大规模进行试验。而将马尔科夫与神经网络相结合既可以实现动态预测，又能节省时间和成本。

1 模型结构

模型结构如图1所示，分为马尔科夫部分和神经网络部分。

1.1 马尔科夫部分马尔科夫一步记忆可用如下公式描述：p[X（ti+1）=xi+1|X（ti）=xi，X（ti-1）=xi-1，…，X（t1）=x1）]=p[X（ti+1）=xi+1|X（ti）=xi]

ti-1，ti，ti+1是沿隧道开挖线上相邻的不同位置，它们间距相同，xi-1，xi，xi+1是相应的地质条件（G1，G2，G3）。转移概率矩阵为：V=[vij]，vij=p[X（ti）=j|X（ti-1）=i]

V一般用以下公式确定：vij=■。nij为地质条件从状态i转变至状态j的数量，ni为状态i的总数量。假设ti-1处地质条件为概率为■（ti-1），则ti处的地质状态概率为■（ti）=■（ti-1）×V。可能性矩阵L如下定义：ljk=p（Y（tb）=k|X（tb）=j）X（tb）为tb处真实地质条件，Y（tb）为观察值，ljk表示当地质条件的状态为j，而观测结果是k的概率。可能性矩阵是通过BP神经网络方法获得的。

1.2 BP神经网络部分神经网络模型中的输入参数X1，X2，X3，X4为盾构机每经过一环（大约为1.4m）所记录的数据，输出Y为地质条件（G1=0，G2=0.5，G3=1），神经网络输出值作为输入值传递至马尔科夫模型，可能性矩阵L通过计算神经网络在训练集中预测准确度给出。

2 波尔图案例分析

2.1 波尔图隧道工程概况波尔图地铁地下部分包括两条隧道（C线和S线）。C线长约2.5km，于2000年6月开始选用直径为8.7m的海瑞克土压平衡式盾构施工，该机器在地质条件良好的情况下采用全开式开挖方式，在地质条件不好的情况下采用全封闭式开挖方式。隧道于2002年10月顺利完工[3]。

2.2 神经网络输入和输出参数输入参数为盾构机在掘进过程中，每隔10s记录的贯入速度（mm/转）、刀盘扭矩（MN.m）、总推力（KN）、刀盘切割力（KN）。输出参数为根据岩土的风化程度、破裂程度及断面情况进行的分类（G1，G2，G3）。隧道穿过的岩层分为g1-g7。g1-g4为岩石类，g5-g6是土体类，g7是人工材料和冲积土。根据工程信息，隧道土体有八种断面情况（图2[4]），将这八种断面情况进行如下简化：土体（G1），混合体（G2），岩体（G3）。土体（G1）对应情况1、2―开挖断面全部由土体构成（g5和g6）；岩体（G3）对应于情况7、8―开挖断面全部为岩石成分（g3和g4）；混合体则是由岩石和土体共同构成。

2.3 数据的选择与模型的训练盾构机每掘进一环大概前进1.4m，盾构机有记录的数据从Ring336（距起点大概631m）至Ring1611（距起点大概2418m），可以利用的数据总共有742组（Ring336-1291）。在这742组数据中选择395组数据（Ring336-1109中选择）作为训练集，用于训练模型，剩余347组（Ring401-1141中选择）为检验集，检验模型的可靠性。训练集合中G1占29.88%，G2占32.15%，G3占37.97%；预测集合中G1占32.85%，G2占34.01%，G3占33.14%。神经网络为三层结构：输入层、隐层、输出层，输入层4个节点，输出层1个节点，隐层5个，隐层的激活函数采用S型的tansig，输出层的激活函数采用S型的logsig，误差函数选择均方差MSE。为消除不同单位的误差，将训练集合中的数据按式x′=■归一化，x′为处理后的数据，xmin、xmax为一列数据的最小值和最大值，为处理前的数据。将训练集合中的数据用神经网络进行训练，图3为神经网络在训练集合中的表现。

通过对神经网络在训练集中输出结果分析确定如下判别区间：当输出结果落入[0，0.17]时，判断其为0，即神经网络输出为G1；落入（0.17，0.49]时，判断其为0.5，为G2；落入[0.49，1]时，判断其为1，为G3。由此得到可能性矩阵如表1所示。将训练集的395组数据按前述公式计算，得到马尔科夫模型转移概率矩阵，如表2所示。

2.4 动态预测及结果根据已知地质条件（R400、R416等）及V，求出检验集中地质条件的先验概率。当运行到第Rr-1，将记录下的参数输入至神经网络，得到输出值，通过判别区间判断神经网络预测地质条件，再结合Rr-1先验地质条件概率计算Rr-1后验地质条件概率，根据V更新Rr先验地质条件概率，当盾构机运行至Rr，重复这一过程。检验集共347组数据，其中G1有114组数据，模型将其中111组预测为G1（97.37%）、3组预测为G2（2.63%）；G2有数据118组，模型将其中58组预测为G1（49.15%），54组预测为G2（45.77%），6组预测为G3（5.08%）；G3共有数据115组，模型将18种预测为G1（15.65%），13组（11.30%）预测为G2，84组（73.05%）预测为G3，总预测准确率为71.76%。模型预测结果如表3所示，图4为隧道部分区段预测情况。

3 结论

对地质条件恰当的估计既能降低风险，又能节约成本。一个马尔科夫-神经网络模型被用来动态的、低成本的、大规模的预测波尔图隧道盾构机开挖面前方的地质条件，395组数据被用于训练模型，347组数据被用来检验模型。在岩体和土体中模型表现很好，而在混合体中模型预测准确率有所下降，模型整体预测准确率为71.76%。在岩体中，盾构机可以采用全开模式运行可以节约费用，在土体中，盾构机采用全封闭模式运营可以降低风险。这对于施工者选择合适的开挖方式和支护方式有一定的借鉴作用。

参考文献：

[1]GUAN Zhenchang. Markovian Geology Prediction Approach and Its Application in Mountain Tunnels [J].Tunnelling and Underground Space Technology，2012（31）：61-62.

条件概率 条件概率范文（精选5篇）

条件概率范文 篇一

条件概率范文 篇二

浅析条件概率 篇三