不等式的性质 不等式的性质【优秀4篇】

在日复一日的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是书包范文为小伙伴们分享的不等式的性质【优秀4篇】，希望能够给大家的写作带来一定的启发。

不等式的性质 篇一

探究活动

能得到什么结论

题目 已知 且 ,你能够推出什么结论？

分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

思路一：改变 的范围，可得：

1. 且 ;

2. 且 ;

思路二：由已知变量作运算，可得：

3. 且 ;

4. 且 ;

5. 且 ;

6. 且 ;

7. 且 ;

思路三：考虑含有 的数学表达式具有的性质，可得：

8. (其中 为实常数)是三次方程；

9. (其中 为常数)的图象不可能表示直线。

说明 从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑。

探究关系式是否成立的问题

题目 当 成立时，关系式 是否成立？若成立，加以证实；若不成立，说明理由。

解：因为 ,所以 ,所以 ,

所以 ,

所以 或

所以 或

所以 或

所以 不可能成立。

说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出 , 必须同时大于1或同时小于1的结论。

探讨增加什么条件使命题成立

例 适当增加条件，使下列命题各命题成立：

(1)若 ,则 ;

(2)若 ,则 ;

(3)若 , ,则 ;

(4)若 ,则

思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

解：(1)

(2) 。当 时，

当 时，

(3)

(4)

引申发散对命题(3),能否增加条件 ,或 , ,使其成立？请阐述你的理由。

不等式的性质 篇二

第二课时

教学目标

1.理解同向不等式，异向不等式概念；

2.把握并会证实定理1,2,3;

3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；

4.初步理解证实不等式的逻辑推理方法。

教学重点：定理1,2,3的证实的证实思路和推导过程

教学难点：理解证实不等式的逻辑推理方法

教学方法：引导式

教学过程

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了比较两实数大小的方法，主要根据的是实数运算的符号法则，而这也是推证不等式性质的主要依据，因此，我们来作一下回顾：

这一节课，我们将利用比较实数的方法， 来推证不等式的性质。

二、讲授新课

在证实不等式的性质之前，我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念。

1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如： 是同向不等式。

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。例如： 是异向不等式。

2.不等式的性质：

定理1:若 ,则

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向。在证实时，既要证实充分性，也要证实必要性。

证实：∵ ,

∴

由正数的相反数是负数，得

说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注重向学生强调实数运算的符号法则的应用。

定理2:若 ,且 ,则 .

证实：∵

∴

根据两个正数的和仍是正数，得

∴ 说明：此定理证实的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数。

定理3:若 ,则

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。

证实：∵

∴

说明：(1)定理3的证实相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法；

(2)不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若 ,则 即 .

定理3推论：若 .

证实：∵ ,

∴ ①

∵

∴ ②

由①、②得

说明：(1)推论的证实连续两次运用定理3然后由定理2证出；

(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

(3)两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

(4)定理3的逆命题也成立。(可让学生自证)

三、课堂练习

1.证实定理1后半部分；

2.证实定理3的逆定理。

说明：本节主要目的是把握定理1,2,3的证实思路与推证过程，练习穿插在定理的证实过程中进行。

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1,2,3的证实思路，并把握其推导过程，初步理解证实不等式的逻辑推理方法。

课后作业

1.求证：若

2.证实：若

板书设计

§6.1.2 不等式的性质

1.同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3

异向不等式 证实 证实 推论

2.定理1 证实 说明 说明 证实

第三课时

教学目标

1.熟练把握定理1,2,3的应用；

2.把握并会证实定理4及其推论1,2;

3.把握反证法证实定理 5.

教学重点：定理4,5的证实。

教学难点：定理4的应用。

教学方法：引导式

教学过程：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1,2,3,并初步熟悉了证实不等式的逻辑推理方法，首先，让我们往返顾一下三个定理的基本内容。

(学生回答)

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用。

二、讲授新课

定理4:若

若

证实：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：(1)证实过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

(2)定理4证实在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变。

推论1:若

证实：

①

又

∴ ②

由①、②可得 .

说明：(1)上述证实是两次运用定理4,再用定理2证出的；

(2)所有的字母都表示正数，假如仅有 ,就推不出 的结论。

(3)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

推论2:若

说明：(1)推论2是推论1的非凡情形；

(2)应强调学生注重n∈n 的条件。

定理5:若

我们用反证法来证实定理5,因为反面有两种情形，即 ,所以不能仅仅否定了 ,就“归谬”了事，而必须进行“穷举”。

说明：假定 不大于 ,这有两种情况：或者 ,或者 .

由推论2和定理1,当 时，有 ;

当 时，显然有

这些都同已知条件 矛盾

所以 .

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用。

例2 已知

证实：由

例3 已知

证实：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3,例4的学习，使学生初步接触不等式的证实，为以后学习不等式的证实打下基础。在应用定理4时，应注重题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论。接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用。

三、课堂练习

课本p7练习1,2,3.

课堂小结

通过本节学习，大家要把握不等式性质的应用及反证法证实思路，为以后不等式的证实打下一定的基础。

课后作业

课本习题6.1 4,5.

板书设计

§6.1.3 不等式的性质

定理4 推论1 定理5 例3 学生

内容 内容

证实 推论2 证实 例4 练习

探究活动

能得到什么结论

题目 已知 且 ,你能够推出什么结论？

分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

思路一：改变 的范围，可得：

1. 且 ;

2. 且 ;

思路二：由已知变量作运算，可得：

3. 且 ;

4. 且 ;

5. 且 ;

6. 且 ;

7. 且 ;

思路三：考虑含有 的数学表达式具有的性质，可得：

8. (其中 为实常数)是三次方程；

9. (其中 为常数)的图象不可能表示直线。

说明 从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑。

探究关系式是否成立的问题

题目 当 成立时，关系式 是否成立？若成立，加以证实；若不成立，说明理由。

解：因为 ,所以 ,所以 ,

所以 ,

所以 或

所以 或

所以 或

所以 不可能成立。

说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出 , 必须同时大于1或同时小于1的结论。

探讨增加什么条件使命题成立

例 适当增加条件，使下列命题各命题成立：

(1)若 ,则 ;

(2)若 ,则 ;

(3)若 , ,则 ;

(4)若 ,则

思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

解：(1)

(2) 。当 时，

当 时，

(3)

(4)

引申发散对命题(3),能否增加条件 ,或 , ,使其成立？请阐述你的理由。

不等式的性质 篇三

9.1.2 不等式的性质（3）

教学目标 1、使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，初步认识一元一次不等式的应用价值；

2、对比一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，让学生感知不等式和方程的不同作用与内在联系，体会其中渗透的类比思想；

3、让学生在分组活动和班级交流的过程中，积累数学活动的经验并感受成功的喜悦，从而增强学习数学的自信心。

教学难点 熟练并准确地解一元一次不等式。

知识重点 熟练并准确地解一元一次不等式。

教学过程（师生活动） 设计理念

提出问题 某地庆典活动需燃放某种礼花弹。为确保人身安全，要求燃放者在点燃导火索后于燃放前转移到10米以外的地方。已知导火索的燃烧速度为0.02 m/s,人离开的速度是4 m/s，导火索的长x(m)应满足怎样的关系式？

你会运用已学知识解这个不等式吗？请你说说解这个不等式的过程。 以学生身边的事例为背景，突出不等式与现实的联系，这个问题为契机引入新课，可以激发学生的学习兴趣。

探究新知 1、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出这个不等式的解法。教师规范地板书解的过程。

2、例题。

解下列不等式，并在数轴上表示解集：

（1） x ≤ 50    (2)-4x < 3

(3) 7－3x≤10    （4）2x-3 < 3x＋1

分组活动。先独立思考，然后请4名学生上来板演，其余同学组内相互交流，作出记录，最后各组选派代表发言，点评板演情况。教师作总结讲评并示范解题格式。

3、教师提问：从以上的求解过程中，你比较出它与解方程有什么异同？

让学生展开充分讨论，体会不等式和方程的内在联系与不同之处。 不同层次的学生经过尝试会有不同的收获。一些学生能独

立解决；还有一些学生虽不能解答，但在老师的引导下也能受到启发，这比单纯的教师讲解更能调动学习的积极性。另外，由学生自己来纠错，可培养他们的批

判性思维和语言表达能力。

比较不等式与解方程的异同中渗透着类比思想。

巩固新知 1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：

（1）       （2）－8x < 10

2、用不等式表示下列语句并写出解集：

（1）x的3倍大于或等于1；  （2）y的 的差不大于－2.

解决问题 测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算它的树龄一般规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5 cm,以后树围每年增加约3 cm.这棵树至少生一长多少年，其树围才能超过2.4 m? 让学生在解决问题的过程中深刻感悟数学来源于实践，又服务于实践，以培养他们的数学应用意识。

总结归纳 围绕以下几个问题：

1、这节课的主要内容是什么？

2、通过学习，我取得了哪些收获？

3、还有哪些问题需要注意？

让学生自己归纳，教师仅做必要的补充和点拨。 让学生自己归纳小结，给学生创造自我评价和自我表现的机会，以达到激发兴趣、巩固知识的目的。

小结与作业

布置作业 1、必做题：教科书第134~135页习题9.1第6题（3）（4）第10题。

2、选做题：教科书第135页习题9、12题。

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

通过创设与学生实际生活密切联系的向题情境，并由学生根据自己掌握的知识与经验列出不等式，探究它的解法，可以激发学生的学习动力，唤起他们的求知欲望，促使学生动脑、动手、动口，积极参与教学的整个过程，在教师的指导下，主动地、生动活泼地、富有个性地学习。

新课程理念要求教师向学生提供充分的从事数学活动的机会。本课教学过程中贯穿了“尝试—引导—示范—归纳—练习—点评”等一系列环节，旨在改变学生的学习方式，将被动的、接受式的学习方式转变为动手实践、自主探索和合作交流等方式。教师的组织者、引导者与合作者的角色在这节课中得到了充分的演绎。 教师要尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需求。对学习确实有困难的学生，要及时给予关心和帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题，勇于发表自己的观点。除了演好组织者、引导者的角色外，教师还应争当“伯乐”和“雷锋”，多给学生以赞许、鼓励、关爱和帮助，让他们在积极愉悦的氛围中努力学习。

不等式的性质 篇四

第二课时

教学目标 

1.理解同向不等式，异向不等式概念；

2.掌握并会证明定理1，2，3；

3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；

4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法。

教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程

教学难点 ：理解证明不等式的逻辑推理方法

教学方法：引导式

教学过程 

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了比较两实数大小的方法，主要根据的是实数运算的符号法则，而这也是推证不等式性质的主要依据，因此，我们来作一下回顾：

这一节课，我们将利用比较实数的方法， 来推证不等式的性质。

二、讲授新课

在证明不等式的性质之前，我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念。

1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如： 是同向不等式。

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。例如： 是异向不等式。

2.不等式的性质：

定理1：若 ，则

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向。在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性。

证明：∵ ，

∴

由正数的相反数是负数，得

说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用。

定理2：若 ，且 ，则 .

证明：∵

∴

根据两个正数的和仍是正数，得

∴ 说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数。

定理3：若 ，则

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。

证明：∵

∴

说明：（1）定理3的证明相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法；

（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若 ，则 即 .

定理3推论：若 .

证明：∵ ,

∴      ①

∵

∴       ②

由①、②得

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

（4）定理3的逆命题也成立。（可让学生自证）

三、课堂练习

1.证明定理1后半部分；

2.证明定理3的逆定理。

说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行。

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法。

课后作业

1.求证：若

2.证明：若

板书设计 

§6.1.2  不等式的性质

1.同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

异向不等式          证明          证明         推论

2.定理1 证明           说明          说明         证明

第三课时

教学目标 

1.熟练掌握定理1，2，3的应用；

2.掌握并会证明定理4及其推论1，2；

3.掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4，5的证明。

教学难点 ：定理4的应用。

教学方法：引导式

教学过程 ：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容。

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用。

二、讲授新课

定理4：若

若

证明：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变。

推论1：若

证明：

①

又

∴     ②

由①、②可得 .

说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有 ，就推不出 的结论。

（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

推论2：若

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意n∈N 的条件。

定理5：若

我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即 ，所以不能仅仅否定了 ，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”。

说明：假定 不大于 ，这有两种情况：或者 ，或者 .

由推论2和定理1，当 时，有 ；

当 时，显然有

这些都同已知条件 矛盾

所以 .

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用。

例2    已知

证明：由

例3  已知

证明：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础。在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论。接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用。

三、课堂练习

课本P7练习1，2，3.

课堂小结

通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础。

课后作业

课本习题6.1 4，5.

板书设计 

§6.1.3  不等式的性质

定理4      推论1         定理5          例3     学生

内容                     内容

证明        推论2         证明          例4       练习

探究活动

能得到什么结论

题目 已知 且 ，你能够推出什么结论？

分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

思路一：改变 的范围，可得：

1. 且 ；

2. 且 ；

思路二：由已知变量作运算，可得：

3. 且 ；

4. 且 ；

5. 且 ；

6. 且 ；

7. 且 ；

思路三：考虑含有 的数学表达式具有的性质，可得：

8. （其中 为实常数）是三次方程；

9. （其中 为常数）的图象不可能表示直线。

说明 从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑。

探究关系式是否成立的问题

题目  当 成立时，关系式 是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。

解：因为 ，所以 ，所以 ，

所以 ，

所以 或

所以 或

所以 或

所以 不可能成立。

说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出 ， 必须同时大于1或同时小于1的结论。

探讨增加什么条件使命题成立

例 适当增加条件，使下列命题各命题成立：

（1）若 ，则 ；

（2）若 ，则 ；

（3）若 ， ，则 ；

（4）若 ，则

思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

解：（1）

（2） 。当 时，

当 时，

（3）

（4）

引申发散 对命题（3），能否增加条件 ，或 ， ，使其成立？请阐述你的理由。

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